Rekenen en boekhouden zonder computer

Waarom dit telt

Hoeveel graan tot de oogst, hoeveel cement voor de muur, hoeveel water in de ton: zonder telefoon reken je dat zelf. Een rekenfout is geen klein probleem meer als hij een winter eten kost. Met een paar vaste trucs, een schrift en een tweede paar ogen kun je bijna alles wat een groep nodig heeft.

Eerst doen

1. Leg een schrift, pennen, potloden en een liniaal droog weg.
2. Spreek één stelsel af voor de hele groep: meter, kilo, liter (16.04 Eenheden en standaarden).
3. Schat elke som eerst uit je hoofd.
4. Schrijf elke som op met eenheden erbij.
5. Laat elke belangrijke som los door een tweede persoon maken.
6. Begin een kasboek en een voorraadboek, ook als het klein is.

Wat je nodig hebt

• Schriften met genummerde bladzijden, pen, potlood, liniaal, meetlint, touw.
• Een rekenmachine op zonnecellen, als die er is.
• Een weegschaal en een maat van 1 liter.
• Een telraam of 50 kleine steentjes.
• De tafels tot 10 keer 10, voorin het schrift.

Werkwijze

Rekenen uit het hoofd

Reken niet zoals op papier. Maak de som eerst makkelijker.

Schatten. Rond elk getal af op één cijfer en een rij nullen. 387 × 42 is ongeveer 400 × 40 = 16.000. Het echte antwoord is 16.254. Komt er 1625 of 162.540 uit je som, dan weet je dat de komma verkeerd staat.

Procenten

Procent betekent "van de honderd". 1 procent is een honderdste.

• 10 procent: schuif de komma één plaats. 10 procent van 480 is 48.
• 5 procent: de helft daarvan, dus 24.
• 15 procent: 48 + 24 = 72.
• 1 procent: schuif de komma twee plaatsen. 1 procent van 480 is 4,8.

De val. Er gaat 15 procent verloren, en je wilt 1000 kilo overhouden. Je hebt dan niet 1150 kilo nodig, want 15 procent van 1150 is 172,5 en dan houd je 977,5 over. Je hebt 1000 : 0,85 = 1176 kilo nodig. Ophogen en afhalen zijn niet hetzelfde. Bij het tellen in 15.07 Voorraad beheren trek je af. Bij het plannen in VK.D06 Rantsoenen plannen voor een groep en een winter tel je 15 procent op; dat is iets te laag maar scheelt weinig.

Verhoudingen

Recht evenredig: de regel van drie. Twee keer zoveel mensen is twee keer zoveel eten. Reken eerst naar 1, dan naar wat je zoekt. Acht mensen eten 4 kilo rijst per dag. Hoeveel eten twaalf mensen? 4 : 8 = 0,5 kilo per persoon, keer 12 = 6 kilo.

Omgekeerd evenredig. Twee keer zoveel mensen is half zo lang werk. Reken in mensdagen. Vier mensen graven een greppel in 6 dagen: 24 mensdagen. Zes mensen doen er 24 : 6 = 4 dagen over. Dat geldt zolang ze elkaar niet in de weg lopen.

Oppervlak en inhoud

Omrekenen:

• 1 m² = 10.000 cm². 1 are = 100 m². 1 hectare = 10.000 m².
• 1 m³ = 1000 liter. 1 liter = 1000 cm³.
• 1 liter water weegt 1 kilo. 1 m³ water weegt 1000 kilo.
• 1 mm regen op 1 m² is 1 liter. Op een dak van 8 × 6 m geeft 10 mm regen dus 480 liter, waarvan een deel verloren gaat.
• 1 liter graan weegt ongeveer 0,75 kilo wordt getoetst. Weeg het bij jouw graan na.

Een scheef stuk land. Verdeel het in rechthoeken en driehoeken, meet elk stuk (VK.F09 Afstand meten met je pas) en tel op. Een vierhoek deel je met een diagonaal in twee driehoeken.

Een rechte hoek uitzetten. Maak een driehoek met zijden van 3, 4 en 5 meter met een touw. De hoek tussen 3 en 4 is precies recht. Goed voor funderingen en akkers. Ook 6, 8 en 10 werkt.

Oude maten. Op oude aktes en bij oudere boeren hoor je morgen en gemet. Die maten verschilden per streek wordt getoetst. Vraag altijd welke maat iemand bedoelt, en reken om naar m². Men zegt nog pond voor 500 gram en ons voor 100 gram wordt getoetst.

Schalen

Schaal 1:50 betekent dat 1 cm op papier 50 cm in het echt is. Op een kaart van 1:25.000 is 1 cm dus 250 meter, en 4 cm is 1 kilometer (14.01 Kaarten lezen).

Maak je iets in elke richting twee keer zo groot, dan wordt het oppervlak 4 keer en de inhoud 8 keer zo groot. Een pot van dubbele maat houdt dus 8 keer zoveel. Een model klein uitproberen is goed, maar sterkte groeit niet mee met gewicht wordt getoetst.

Mengverhoudingen

Delen tellen. Beton 1:2:3 betekent 1 deel cement, 2 delen zand, 3 delen grind, samen 6 delen wordt getoetst. Heb je 120 liter los materiaal nodig, dan is één deel 120 : 6 = 20 liter: 20 cement, 40 zand, 60 grind. Het mengsel wordt minder dan de som, want zand valt tussen het grind wordt getoetst. Meet met dezelfde emmer.

Schrijf altijd voluit. "1 op 9" kan twee dingen betekenen. Schrijf "1 deel bleek + 9 delen water, samen 10 delen". De CDC bedoelt dat bij opruimen van muizenvuil (15.07 Voorraad beheren). Voor 1 liter: 100 ml bleek en 900 ml water.

1 op 50 bij tweetaktbenzine: 5000 ml benzine : 50 = 100 ml olie. Kijk wat op je machine staat.

Verdunnen naar een sterkte. Sterkte × hoeveelheid blijft gelijk: je voegt alleen water toe. Je hebt pekel van 20 procent en wilt 10 liter van 5 procent. 10 × 5 : 20 = 2,5 liter pekel, en 7,5 liter water. Let op of de procent over gewicht of over volume gaat.

De kruisregel. Zo meng je twee sterktes tot een derde. Zet de sterktes links, het doel in het midden, en trek kruiselings af.

Dat is 1 deel pekel op 3 delen water. Controle: 1 × 20 : 4 = 5 procent.

Telraam

Op een telraam is de plek de waarde, net als op papier: elke staaf is een rang. Eenheden rechts, tientallen links daarvan, en zo verder.

• Soroban (Japans): elke staaf heeft één kraal van 5 boven de balk en vier kralen van 1 eronder. Een kraal telt als je hem naar de balk schuift.
• Suanpan (Chinees): twee kralen boven en vijf onder wordt getoetst.
• Schoty (Russisch): tien kralen per draad, zonder balk. De middelste twee hebben een andere kleur wordt getoetst.

Zelf maken: een houten lijst, staven van ijzerdraad of dunne stokjes, en kralen van moeren, gedroogde bonen met een gat of geboorde stukjes tak wordt getoetst. Dertien staven is ruim genoeg wordt getoetst. Geen staven? Trek lijnen op tafel of in het zand en leg steentjes: dat telbord werkte eeuwenlang wordt getoetst.

Optellen: zet het eerste getal, voeg per rang toe en draag over naar links. Voorbeeld 27 + 15: zet 2 en 7. Tel 5 bij de eenheden: 12, dus zet 2 en schuif één tiental bij. Tel 1 bij de tientallen. Uitkomst 42. Oefen tien minuten per dag.

Rekenliniaal

Een rekenliniaal maakt van keer een optelling van lengtes. De schaal is logaritmisch: de afstand van 1 tot een getal is de logaritme van dat getal. Twee latjes tegen elkaar schuiven telt die lengtes op.

Je kunt er zelf een maken. Neem twee stroken karton of hout, en zet op beide dezelfde schaal van 25 cm.

Vermenigvuldigen. 2 × 3: zet de 1 van de bovenste strook boven de 2 van de onderste. Zoek de 3 op de bovenste. Daaronder lees je 6. Delen. 6 : 2: zet de 2 van de bovenste boven de 6 van de onderste. Onder de 1 van de bovenste lees je 3. Valt de uitkomst buiten de strook, zoals bij 7 × 2, zet dan de 10 van de bovenste boven de 7 en lees onder de 2: dat geeft 1,4. Het echte antwoord is 14.

De rekenliniaal geeft alleen cijfers. De komma schat je zelf. Een goede rekenliniaal is nauwkeurig op ongeveer drie cijfers, een zelfgemaakte minder wordt getoetst. Hij is goed voor verhoudingen: zet één keer 8 boven 4, en lees voor elk aantal mensen de rijst af. Gebruik hem nooit voor geld of een voorraadboek, want daar moet elk cijfer kloppen.

Een derde hulpmiddel zijn staafjes van Napier: stokjes met de tafels erop, die je naast elkaar legt.

Kasboek

Alles wat de groep in- en uitgaat aan geld, tegoed of ruil.

Regels:

1. Nummer elke regel en elke bladzijde. Scheur niets uit.
2. Schrijf op dezelfde dag, met pen.
3. Gum niet. Streep een fout door zodat hij leesbaar blijft, schrijf eronder en zet een paraaf.
4. Bewaar bonnetjes of briefjes met hetzelfde nummer.
5. Sluit elke maand af: beginstand + alle in - alle uit = eindstand. Tel daarna wat er echt is. Dat moet hetzelfde zijn.

Reken je zonder geld, dan is het tegoedboek uit 15.06 Ruil en samenwerking je kasboek.

Dubbel boekhouden in het kort. Elke regel staat twee keer: waar het vandaan komt en waar het heen gaat. Luca Pacioli beschreef dit in 1494 wordt getoetst. De totalen aan beide kanten moeten gelijk zijn. Dat vangt optelfouten. Het vangt niet een ruil die nooit is opgeschreven, of een regel op de verkeerde naam. Voor één groep is een gewoon kasboek meestal genoeg.

Voorraadboek

Eén bladzijde per product: datum, erin, eruit, stand, reden, paraaf. De vorm en de telling staan in 15.07 Voorraad beheren, en onderdelen in 10.12 De onderdelenbibliotheek. Pas de stand nooit aan om het te laten kloppen. Een verschil krijgt een eigen regel: "verschil na telling, -2 kilo, reden onbekend". Zo zie je een patroon.

Controle door een tweede persoon

Een tweede persoon vindt fouten die jij niet ziet, omdat je ziet wat je verwacht.

1. Los rekenen. Geef de vraag en de getallen, niet je uitkomst. De tweede maakt de som zelf. Daarna vergelijk je. VK.D06 Rantsoenen plannen voor een groep en een winter eist dat twee mensen binnen 5 procent uitkomen.
2. Terugrekenen. 4626 : 18 = 257? Dan moet 257 × 18 = 4626 zijn.
3. Negenproef. Tel de cijfers van elk getal op tot er één cijfer overblijft. 347 × 26 = 9022. 3 + 4 + 7 = 14, en 1 + 4 = 5. 2 + 6 = 8. Dan 5 × 8 = 40, en 4 + 0 = 4. De uitkomst: 9 + 0 + 2 + 2 = 13, en 1 + 3 = 4. Klopt. De proef mist fouten van een veelvoud van 9, en verwisselde cijfers.
4. Verschil deelbaar door 9? Klopt een boek niet en is het verschil door 9 deelbaar, zoek dan eerst naar twee verwisselde cijfers, zoals 54 in plaats van 45.
5. Hardop lezen. De een leest voor uit het boek, de ander volgt op de bon.
6. Gezond verstand. 800 kilo rijst per dag voor acht mensen kan niet. Tel alleen kilo's bij kilo's.

Wie geld of voorraad beheert, controleert zichzelf niet. Spreek af wie het boek elke maand nakijkt en wissel die taak. Is het klaar, dan zetten beiden een paraaf.

Zo weet je dat het werkt

• Twee mensen komen los van elkaar op hetzelfde antwoord.
• Beginstand plus in min uit is gelijk aan wat er echt ligt.
• Je schatting en je uitkomst liggen dicht bij elkaar.
• Iemand anders kan je berekening over drie maanden nog volgen.
• Mengsels komen elke keer hetzelfde uit.

Zo weet je dat het misgaat

• Schatting en uitkomst verschillen een factor 10: zoek de komma of de eenheid.
• Twee rekenaars krijgen niet hetzelfde: laat beiden hun som hardop nalopen, en reken met een derde.
• Het kasboek klopt niet: zoek eerst naar overslaan, verwisselde cijfers en dubbele regels.
• Er zijn doorhalingen zonder paraaf: vraag wat er gebeurd is.
• Maten lopen door elkaar, liter en kilo of oude en nieuwe maten: spreek opnieuw één stelsel af.
• Een mengsel is te sterk of te zwak: reken opnieuw en controleer of de procent over gewicht of volume ging.

Als je iets mist

Achtergrond

Ons getalsysteem is sterk omdat de plek van een cijfer de waarde geeft. Daarom werkt een telraam en daarom werkt schuiven met de komma. De rekenliniaal werkt omdat bij logaritmen vermenigvuldigen hetzelfde is als optellen.

De negenproef werkt omdat een getal bij deling door 9 dezelfde rest heeft als de som van zijn cijfers. Die rest blijft kloppen bij optellen en vermenigvuldigen.

Bewijs: rekenregels, formules, negenproef en schaalwetten A (wiskunde, zelf nagerekend). Omrekenen van metrische maten A. Scheiding van taken B (standaard in boekhouding). Bouwen van telraam C. Dichtheid van graan en betonverhouding C.

Volgende niveau

Leer staartdelen en vierkantswortels met de hand. Maak een eigen tabellenboek: kilocalorieën, gewichten per liter, tafels en logaritmen (16.01 Een kennisarchief). Geef les aan kinderen (15.08 Onderwijs organiseren). Plan op langere termijn met deze sommen (16.09 Langetermijnplanning).

Controlelijst

• Ik schat elke som voordat ik hem maak.
• Ik schrijf eenheden bij elk getal.
• Ik kan procenten, de regel van drie en mensdagen uit het hoofd.
• Ik kan oppervlak en inhoud berekenen van rechthoek, cirkel, balk en ton.
• Ik schrijf mengverhoudingen voluit, met de delen en het totaal.
• Ik kan een telraam of een rekenliniaal gebruiken.
• Ik houd een kasboek bij zonder gum, en sluit elke maand af.
• Ik laat belangrijke sommen los narekenen door een tweede persoon.

Verantwoording

• Wikipedia: Casting out nines: werking en grenzen van de negenproef.
• Wikipedia: Slide rule: logaritmische schaal, vermenigvuldigen en delen, komma, drie cijfers. Afstanden in de tabel zijn eigen rekenwerk uit log10.
• Wikipedia: Abacus: suanpan, soroban, schoty.
• Wikipedia: Napier's bones: opbouw en gebruik.
• Wikipedia: Alligation: de kruisregel.
• Wikipedia: Double-entry bookkeeping: principe, proefbalans, Pacioli 1494. Dat dubbel boekhouden geen vergeten regel vangt, is onze afleiding.
• Wikipedia: Separation of duties: wie bewaart, schrijft niet zelf op.
• CDC: Clean up after rodents: 1 deel bleek op 9 delen water.
• Binnen NULPUNT: VK.D06 voor 15 procent en 5 procent; 12.02 voor de betonverhouding. Alle voorbeelden zijn zelf uitgerekend.

Niet onderbouwd en daarom gemarkeerd: wat alleen uit Wikipedia komt (kralen per telraam, Pacioli), dichtheid van graan, de betonverhouding en krimp van het mengsel, morgen en gemet, pond en ons, bouw van een telraam en het telbord, nauwkeurigheid van een zelfgemaakte rekenliniaal, sterkte bij schaalverandering en water als ijkgewicht bij een weegschaal. De rekensommen zijn niet door een tweede persoon nagerekend. Getoetst door: nog niet.